От наскальных рисунков в Сахаре до картин Сальвадора Дали человек всегда был и остается главной темой изобразительного искусства. "Венера Виллендорфа" или Венера Майло, король Хаммурапи или бог Аполлон, Сикстинская Мадонна или девушка с персиком - для художника это были прежде всего образы человека. Более того, в предыдущей главе мы увидели, что образ, пропорции человека также нашли воплощение в архитектурных работах, начиная от древнерусских храмов и заканчивая современными сооружениями Ле Корбюзье. Сейчас самое время больше говорить об этих пропорциях - "законах красоты" человека.
С древних времен пропорции человека составляли предмет работы художника, его "математическую лабораторию". Сначала художнику требовалось передать свои переживания и мировоззрения преемникам, возможно, не столько желание "достичь своей сути", сколько необходимость в каких-то объективно-численных или геометрических формах. Так в искусстве появились каноны.
Известны три древнеегипетских канона:
Первый канон эпохи древнего царства, приписываемый Имхотепу (XXVIII в. до н.э.), образует рост человека с 6 ступеней; Вторая - эпоха Среднего и Нового Царства (XXI-XII вв. до н.э.) делит, ещё на три части, каждую стопу и, таким образом, формирует рост из 18 единиц; Третий канон позднего периода (XI-IV вв. до н.э.) разбирает рост человека на 21 с четвертью часть. Текст египетских канонов не сохранился, но в сохранившемся каталоге Храмовой библиотеки в Эдфу находится трактат под названием "Канон пропорций для настенной росписи", который обозначается шестым номером. Легко понять, как со временем усложнился древнеегипетский канон, но, несмотря на столь незначительное для современника "уточнение", на это потребовалось не более 2500 лет!
Да, так же сдержанно, как воды Нила, время текло в Древнем Египте. И столь же медленным, статичным было египетское искусство. Более того, неизменность всего, что существовало и вечное следование принятым законам, в том числе и художественным было своеобразной философией древнеегипетского общества. И эта философия ступора умело воплощена древним художником в камне. Однако для нас важно еще одно: в течение почти 3000 лет до н.э. изобразительное искусство анализировалось математически, и эти анализы были довольно объективными и в течение тысяч лет организовывали древнеегипетских художников. Только в математических порядках можно было сохранить художественные законы на протяжении веков.
Вера египтян в универсальность математического знания отражается на одном из математических папирусов, который начинается со слов: "Точное дополнение - это дверь к знанию всего и темных тайн." И вера в универсальность канона восходит к тому, что египтяне использовали один и тот же канон как в живописи, так и в архитектуре. Одинаково успешно используемая как в скульптуре, так и в архитектуре сетка квадратов была математической основой египтян, регулирующих образ. Только абсолютные размеры этой сетки могли измениться, само изображение, его пропорции остались неизменными.
Сетка квадратов 21 ^ 1/4 Х14 является каноном древнеегипетского искусства, используемого как в живописи, так и в архитектуре
Но даже внутри сетки положение фигуры строго регламентировано математическими законами. Рассмотрим геометрическую структуру, которая, как полагают, была известна древним египтянам. Разделяем края квадрата ABCD в золотом соотношении с точками Ei (i = 1, 2,..., 8). (Это легко сделать, разделив заданный квадрат на четыре квадрата и сделав фигуры в каждой паре квадратов). С верхней части квадрата нарисуем две "диагонали" к разделительным точкам. В результате образуется восьмиконечная звезда, в которой окружены два маленьких квадрата, образующих звездообразный восьмиугольник. Соединяя точки пересечения меньших квадратов с одной точкой, мы создаем меньший квадрат с ребрами, параллельными краям исходного квадрата. В последнем кадре всю процедуру можно повторить. Таким образом, появится созвездие написанных друг с другом восьмиконечных звезд, столь же красивых, как созвездия пятиконечных и десятиконечных звезд, которые мы наблюдаем на рисунках.
Мы не будем перегружать рисунок дополнительными структурами и не будем лишать энтузиастов математики удовольствия находить в чертеже две треугольные шкалы, похожие на прямоугольные треугольники АВЕ2 и АFH. Давайте просто возьмем сторону исходного квадрата по одному и запишем главное. В ΔАВЕ2 АВ = 1, BЕ2 = φ, АЕ2 = √1 + φ2 = ψ. В ΔABF ~ ΔАВЕ2
AF = 1/ψ, BF = φ/ψ, AB = 1. В большинстве ΔABF и ΔBFG в которых можно найти одну общую сторону BF, есть элементы ΔBFG: BF = φ/ψ, FG = φ/2ψ ,BG = ψ/2, т.е. и элементы ΔAFH: AF = 1/ψ, FH = 1/2ψ, AH = ψ/2φ. Помните (φ = (√5 - 1)/2 и при вычитании отношений в треугольниках используйте аддитивное свойство ряда золотых сечений: 1 = φ + φ2, φ = φ2 + φ3, ... ).
Продолжая смотреть на подобные треугольники, легко понять, что отношения соответствующих элементов треугольников, таких как ΔABE2, создают бесконечно уменьшающуюся геометрическую прогрессию: 
(1.1)
и отношения соответствующих элементов таких треугольников, как ΔAFH, создают прогрессию:
(1.2)
Кроме того, существуют комбинации двух основных типов прогрессии, а именно прогрессии вида
(1.3)
Таким образом, структуры рисунка дают нам не только набор золотых сечений, но и гамму геометрических прогрессий вида
(1.4)
чьи заинтересованные участники тоже находятся в золотом соотношении.
Любопытно, что в 
Также, обратите внимание, что в 
Таким образом, меньшие углы в двух треугольниках ΔВЕ2 и AFH почти равны; в результате эти треугольники почти похожи, а углы исходного квадрата делятся почти ровно на три части "диагоналями". Поэтому изученная структура дает нам прекрасный пример приблизительной симметрии.
Созвездие восьмиконечных звезд, написанное на квадрате, содержит ряд золотых пропорций и использовалось древнеегипетскими художниками в человеческих пропорциях.
Математическая структура древнеегипетских рисунков на основе восьми пропорциональных величин (Ф. по словам де Коры). Фигуры священника (а) и богини ночи (б)
Интересно, что... Тем не менее, достаточно. Тем более что у любителей искусства давно назрел вопрос, давайте оставим радость открытия любителям математики: "Какое отношение вся эта геометрия и алгебра имеют к теме нашего разговора - пропорциям человека?" А вот какое.
По словам французского египтолога Фурнье де Коре, из массива восемь величин, то есть 
(1.5)
Определяет всю пропорциональную структуру древнеегипетской живописи. Этот вывод Де Кора основан на кропотливом изучении соотношения многих произведений изобразительного искусства Древнего Египта. На рисунке представлены все основные элементы фигуры - глаза, нос, рот, шея, плечи, арка и др. Мы видим, что их уровень - положение определяется с удивительной точностью пропорциональными величинами (1.5), умноженными на общую длину фигуры (Н).
Используя (1.5) и пропорции φn = φn + 1 + φn + 2, легко доказать такие равенства, как 2A1 + A8 = 1, A1 + A2 + A6 = 1, A1 + 2A3 = 1, A6 + A8 = А3, A3 + A8 = A2, A3 + A6 = A1.
Конечно, ряд (1.4) дает такой богатый диапазон пропорций, что при достаточном количестве членов он может быть более точным, чем линейка миллиметров. Конечно, математике не понравится, почему в (1.5) упущение терминов φ, φ/ψ, φ2/ψ и φ4 приводит к тому, что теория де Коре проигрывает в логической гармонии. Да, спустя четыре тысячи лет трудно точно определить, какую систему пропорций использовал древнеегипетский художник. Поэтому существует множество разных теорий пропорций. Но, возможно, есть и другое: древнеегипетский художник на протяжении веков использовал строгую детерминированную систему математических правил, определяющих стиль древнеегипетского изобразительного искусства. Эта математика рисования, ставшая каноном, на протяжении веков связывала искусство Древнего Египта.
Определение позднего египетского канона и связанная с ним интересная история привели к тому, что в древнегреческом историке был обнаружен Диодор Сицилийский (ок. 90-21 гг. до н. э.). Согласно легенде, отец Пифагора Мнесарх построил храм на родном острове Самос в честь Пифиана Аполлона, статуя которого была заказана известными греческими скульпторами. Наибольшей известностью от древних скульпторов пользовались речные сыновья Теодор и Теодор, которые построили для себя статую Пифийского Аполлона. Говорят, что половина этой статуи была сделана по телевизору на Самосе, а другая часть была сделана его братом Теодором в Эфесе. Сложенные, эти части настолько вписывались друг в друга, что вся работа выглядела так, как будто она была сделана одним и тем же мастером. Однако такие исследования никогда не используются у греков, но в основном используются египтянами... Их мерзость статуи не определяется их глазами, но после того, как они разрезают камни и разбивают их на куски, они получают соотношение от самого маленького до самого большого; Они делят рост организма на 211/4 и тем самым дают все пропорции живому человеку. Поэтому после того, как рабочие согласились на величие, они разделили труд между собой и деконструировали его в определенной мере, чтобы их работа была переполнена изумлением. " Возможно, эта история, рассказанная Диодором, была не чем иным, как легендой. Но в нем важно не то, что сложенные статуи были даже случайными, а то, насколько сама такая проблема возникла. В эту историю, даже если это миф, отражается безграничная вера древних греков в силу математики, которая одинаково успешно применима не только в инженерных расчетах, но и в скульптурном искусстве. Когда древние создавали свои бессмертные творения, они не боялись "нарушать гармонию с алгеброй" и, по словам Дюрера, верили, что математика "поможет там, где рука обманет вас из-за спешки".
Курос из тени ("Теневой Аполлон"). Ок. 560 до н.e. Идентичность пропорций Аполлона Тени и египетского канона поздней скульптуры еще раз доказывает влияние на архаичный период раннее греческого искусства древнеегипетским искусством
На рисунке показан египетский канон, описанный у Диодора. Высота фигуры делится ровно на 21 часть, а целая секция соответствует длине среднего пальца. Высота фигуры без изголовья - 19 штук. Рядом, расположена греческая статуя Аполлона Тенейского, относящаяся к середине VI века до н. э.- так называемый архаичный (греческий. "Архайос" - древний) период греческого искусства. Точное совпадение пропорций этих двух фигур является математическим свидетельством довольно очевидного факта: греческое искусство архаичной эпохи выросло на фоне древнеегипетского искусства. Конечно, художественные образы этих фигур совершенно разные. Тенейский Аполлон, молодой атлет (курос), сияет жизнью и радостью: через мгновение он сойдет с места в новом искусстве Эллады. Однако его пропорции - "математика Аполлона" - полностью сохраняют влияние древнеегипетского канона.
Греческое искусство развивалось очень динамично. Через 100 лет после Аполлона Тенейского, в середине V века до н. э., греческая цивилизация достигает своего пика. Наступает период наивысшего расцвета древнегреческого искусства, это называется эпохой высокой классики. Высшие идеалы классики, вера в духовное, моральное и физическое совершенство, свободного эллина, это отражено в скульптурах Поликлета, созданных во второй половине века. Поликлет был не только гениальным скульптором и автором "Дорифора", "Дуадумена", "Раненой амазонки" , но и выдающимся теоретиком искусства.
Он изложил теоретические взгляды на соотношение людей в трактат "Канон". Этот тезис, к сожалению, не сохранился. Но как будто предчувствуя хрупкость написанного и бессмертие статуи, Поликлет создает скульптуру, воплощающую в себе свои теоретические взгляды в бронзе. (Эта статуя тоже не сохранилась, но, к счастью, сохранилась ее римская мраморная копия.) Вот почему знаменитая статуя молодого человека с копьем "Дорифор" имеет и другое название - "Канон".
К сожалению, опять же, мы не знаем, в каких конкретных математических соотношениях выражается Поликлетовский канон. Но знание философских взглядов Поликлета и, самое главное, его скульптуры помогает восстановить эти соотношения. Поликлет был пифагорийцем, поэтому он был хорошим математиком и был конечно знаком с золотой пропорцией, которую пифагорейцы считали вершиной совершенства. Мы можем только представить, какое удивление и радость испытал пифагореец Поликлет, когда обнаружили, что золотое соотношение - не только абстрактная геометрическая фигура, пятиконечная звезда, главный пифагорейский символ, но и, естественно, в соотношении людей. Человеческое тело оказалось плодородным материалом для философа-пифагорейца: как мы знаем, золотое сечение распространяется на организм человека от малых размеров (трех фаланг среднего пальца) до самых больших. Анализ пропорций "Дорифора" и других Поликлетовых скульптур подтверждает наши предположения: в Поликлетовых скульптурах пропорции золотого сечения 1, φ, φ2, φ3, φ4, φ5, φ6 сохраняются с большой точностью.
Отметим, что в методе формирования пропорций Поликлета есть принципиальное отличие от египетского метода пропорциональности. Египтяне происходили из какой-то условной единицы измерения, например, длины среднего пальца, после чего их "помещали" целое число раз в части изображения человека. Поликлет принимает рост человека за единицу, затем фиксирует определенную часть тела, независимо от ее размера, и выясняет их соотношение. Это отношение можно было выразить не только отношением целых чисел, как у египтян, но и иррациональным числом, как в золотом сечении.
Поэтому открытие золотого соотношения в структуре человека которое скорее всего принадлежит Поликлету, можно считать вторым по значимости событием в "математической теории искусств" после открытия закона о целочисленных соотношениях в музыке.
Рисунок Леонардо да Винчи из анатомических рукописей, связывающих идеальные геометрические фигуры с человеческими пропорциями, стал своеобразным символом синтеза математики и искусства
Конечно, в рамках этого раздела невозможно даже кратко рассказать обо всех теориях человеческих пропорций, имеющих тысячелетнюю традицию и множество вариаций. Желая ярче передать тот или иной образ, художник намеренно укрепил одни пропорции и сгладил другие, тем самым создав свой собственный канон. Итак, через сто лет после Поликлета, в IV веке до н. э., в Древней Греции сложился еще один, более "утонченный" канон скульптора Лисиппа, придворного художника Александра Македонского. Как писал Плиний, Лисипп изображал людей не "такими, какие они есть", а "какими они кажутся". Однако вопрос о том, какие пропорции и насколько они соответствуют тому или иному художественному образу, является вопросом истории искусства, и мы не должны в это погружаться. Впрочем о имена х двух гениальных художников и мыслителей, двух титанов Эпохи Возрождения - Леонардо да Винчи и Альбрехта Дюрера здесь мы не можем умолчать.
При составлении пропорций человека Леонардо да Винчи исходит прежде всего из анализа многочисленных измерений самого человека, из его анатомии, а не некоторых "высших" мыслей, как это делали средневековые художники. Жажда опыта и научных знаний, основанных исключительно на опыте, отражает переворот в ренессансной мысли, знаменует начало экспериментального естествознания. Желание как можно глубже изучить пропорции, необходимые Леонардо-художнику, и человеческую структуру в целом превратилось в страсть Леонардо-ученого к науке об анатомии, анатомические тетради, которые он собрал, были на пике анатомии того времени и до сих пор остаются уникальным примером синтеза науки и искусства.
У Леонардо не было времени (или, может быть, он этого не хотел) организовать свои работы, и они были разбиты на рукописные наброски, в которых рассказывалось буквально все, и текст был усеян великолепными рисунками. Мы сосредоточимся только на одном из самых популярных рисунков Леонардо о пропорциях. Вот отрывок из текста, который сопровождает рисунок: "Если ты раздвинешь ноги настолько, что убавишься в росте на 1/14, и если ты тогда разведешь руки и поднимешь их так, что коснешься средними пальцами макушки головы, то должен ты знать, что центром круга, описанного концами вытянутых членов, будет пупок и что пространство между ногами образует равносторонний треугольник. А пролет распростертых рук человека равен его росту". Обратите внимание, что эта идея рисования восходит к сочинению Витрувия, которое мы знаем.
В трудах Дюрера учение о соотношении людей получило наивысшее развитие. Он проводит свои измерения с немецкой строгостью и в конечном итоге приводит к разделению человеческого тела до 1/1800 его длины, что не превышает миллиметра! По мнению А. Лосева, такое тщательное измерение "стало самоцелью и стало своеобразным измерительным видом спорта!". До или после Дюрера доктрина пропорций не была доведена до такой точности. Но главное, вообще, было другим: Дюрер отказался от создания любого "идеального" канона и развил не менее 26 разных видов человеческих пропорций.
Вернемся к трактату Дюрера "Четыре книги о пропорциях". "Если я планирую изобразить человека, - читаем мы, - прежде всего делаю следующее: беру линейку длиннее фигуры и рисую прямую линию длиной, которой должна быть изображенная на ней фигура, чтобы один конец касался макушки головы, а другой - пят... И делю всю длину, определяемую цифрой 1, на две-пятьдесят или сто частей столько, сколько мне нужно, размещаю их с точками на линейке возле длинной линии, рисую линии от них до макушки и даю наименование им 2, 3, 4 и т.д. Таким образом, меньшие числа будут показывать более длинные части, а более крупные - более короткие. Таким образом, половина всей длины составляет 2, треть - 3, четверть - 4 и т.д.". Затем Дюрер указывает на "самые важные линии расхождения": "верхнюю я называю макушкой, следующую под нею - лбом, следующую - бровями, затем идут нос, подбородок и далее плечевые мускулы, шейная впадина, верх груди..." и так далее вплоть до пят.
Пропорции детской фигуры из трактата Дюрера "Четыре книги о пропорциях"
Иллюстрации из "Четырех книг о пропорциях" Дюрера. В своем трактате художник попытался найти ряд геометрических преобразований, позволяющих охватить все многообразие человеческих лиц
Хотя Дюрер отмечает, что таких делений "можно сделать более или менее", для современного читателя большая строгость в анализе человеческой фигуры кажется немыслимой. За этим следуют измерения этих линий для различных типов фигур, от мужских и женских фигур до детских фигур. Последнее дает четкое представление о том, насколько филигранны геометрические структуры Дюрера. В третьей книге своего трактата Дюрер сказал: "Как выше показанные, измерения могут быть изменены или искажены... благодаря этому фигура становится неузнаваемой...". "Изменитель", предложенный Дюрером для этой цели, - это не что иное, как система похожих треугольников. В то же время Дюрер четко осознает, что если пропорционально изменить все размеры фигуры, то ее форма останется прежней. И напротив, "если мы увеличим некоторые части и уменьшим другие, внешний вид вещей изменится."
Но если пропорции человеческой фигуры еще можно как-то классифицировать, то лицо человека не соответствовало строгим рамкам пропорциональной сети рамки Дюрера. Дюрер изобретает множество геометрических способов преобразования образа лица до неузнаваемости. Однако чем больше набор таких методов, тем яснее можно увидеть, что их число переходит в бесконечность. Художник внутри Дюрера понимает это интуитивно: в его тезисе неоднократно проскальзывает фраза "нельзя рисовать контуры человеческой фигуры с помощью циркуля и линейки". В то же время Геометр в нём Дюрера продолжает упорно искать универсальный геометрический метод построения человеческого образа.
На рисунке показаны некоторые геометрические преобразования Дюрера. Первая строка слева показывает исходное "правильное" лицо. Вторая строка слева представляет собой геометрические преобразования, называемые аффинными в математике. Аффинное преобразование или отображение - это отображение "один к одному", в котором параллельные линии исходной плоскости (верхняя строка) превращаются в параллельные линии в плоскости отображения (вторая строка). Рисунки справа приводят пример более сложных геометрических преобразований.
Глядя на геометрические структуры Дюрера спустя 500 лет, мы ясно видим, как в его исследованиях созрела потребность в точной науке о непрерывных процессах, науке о постоянном проявлении разрыва, науке о бесконечном количестве бесконечных изменений. Такая наука родилась всего через полтора века после Дюрера в трудах Ньютона и Лейбница, когда вместе с понятием производная была "в математику вошли движение и диалектика" (Ф. Энгельс, том 20, с. 573). Таким образом, работа Дюрера еще раз убеждает нас в том, что пути науки и искусства связаны тысячами нитей. В геометрических поисках Дюрера мы видим, что одно из величайших достижений человеческого мышления - дифференциальное исчисление - созрело не только на коленях науки, но и в глубинах искусства.
Как развивалась теория человеческих пропорций после Дюрера?
В XVII столетии движение вошло не только в науку, но и в искусство. Когда он заменяет замершие формы объекта, в котором царит мир и пропорция, в искусстве возникает интерес к таким переменным, как солнечный свет, субъект, настроение и мировоззрение. Голландские люминаристы XVII века и в XIX веке французские импрессионисты больше не нуждались в пропорциях, поскольку форма, объектов растворялась на полотнах в потоках воздуха, цвета и света. Искусство XX века еще более динамично: оно уничтожает все законы и часто не успевает объявить свои. Сегодня каждый художник пытается создать свой собственный канон, что приводит к бесконечным дискуссиям об искусстве. Тот же "канон Ильи Глазунова" разделил наших современников на сторонников и диссидентов, но не помешал обоим сторонам окружить манеж выставками художника в одном порядке.
Рисунок человека, сделанного компьютером в следственном отделе "Боинга". Система топологических правил, введенная в ЭВМ, позволяет прорисовывать различные этапы движения человека
Итак, стала ли теория пропорций древней основой искусства?
Автор так не думает. Да, в выражении "арифметики" теория пропорций исчерпала себя. Да, человек - мера всего - настолько разнообразен, что не может быть сжат в рамки дискретных канонов. Но пропорции человека живы, как и он сам.
Теория пропорций сегодня не умерла, а просто застыла в ожидании качественно нового скачка в ожидании перехода от "арифметического" к "аналитическому" и даже "компьютерному" выражению. Основания для такого скачка сегодня созрели: существует современный математический аппарат, позволяющий определять контуры человека не на "уровне циркуля и линейки"; есть современные компьютеры с графическими дизайнерами и дисплеями. Нам нужно сообщество художников и математиков
Есть примеры такого сообщества. В исследовательском отделе американской компании "Боинг" был сделан рисунок на компьютере. Форма математически спроектирована в соответствии со стандартными соотношениями человека и набором топологических правил, определяющих работу суставов и обеспечивающих непрерывность контура человека при его движении. Таким образом, этот "человек" созданный машиной может двигаться, а сам компьютер может создать полный мультфильм. Но эта увлекательная тема - искусство и компьютеры - выходит за рамки нашей публикации.
